17. Найдите производную функции у = ех² * lnx в точке х0= √3/2.

Решение:

1. Найдём производную функции \( y = e^{x^2} \cdot \ln x \) как произведение двух функций, используя правило \( (uv)' = u'v + uv' \):
   • Производная \( e^{x^2} \) равна \( 2x e^{x^2} \).
   • Производная \( \ln x \) равна \( \frac{1}{x} \).
2. Таким образом, производная функции \( y' = (e^{x^2})' \cdot \ln x + e^{x^2} \cdot (\ln x)' = 2x e^{x^2} \ln x + e^{x^2} \cdot \frac{1}{x} \).
3. Упростим выражение: \( y' = e^{x^2} \left( 2x \ln x + \frac{1}{x} \right) \).
4. Подставим значение \( x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} \) в выражение для производной:
   • \( x^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \).
   • \( \ln x = \ln \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
   • \( 2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
   • \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
5. Вычислим значение производной: \( y'\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = e^{\frac{3}{4}} \left( \sqrt{3} \ln \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) \).

Ответ: \( e^{\frac{3}{4}} \left( \sqrt{3} \ln \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) \).