18. Вычислите интеграл \( \int_{0}^{1} \left[ (2x^2) - 1 \right] dx \).

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( 2x^2 - 1 \).
   • Первообразная для \( 2x^2 \) равна \( \frac{2x^3}{3} \).
   • Первообразная для \( -1 \) равна \( -x \).
2. Таким образом, первообразная для \( 2x^2 - 1 \) равна \( \frac{2x^3}{3} - x \).
3. Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.
4. Подставим пределы интегрирования:
   • \( \left[ \frac{2x^3}{3} - x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2(1)^3}{3} - 1 \right) - \left( \frac{2(0)^3}{3} - 0 \right) \).
   • \( = \left( \frac{2}{3} - 1 \right) - (0) \).
   • \( = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} \).

Ответ: -\( \frac{1}{3} \).