16. Окружность с центром в точке O касается луча CA (см. рисунок). Найдите градусную меру угла ACO, если градусная мера меньшей из двух дуг окружности, заключённых внутри угла ACO, равна 55°.

Пусть T — точка касания окружности с лучом CA, а P — ближайшая к C точка пересечения луча CO с окружностью. Радиус OT перпендикулярен касательной CA, поэтому треугольник CTO прямоугольный.

Меньшая дуга TP равна 55°, следовательно, центральный угол TOP тоже равен 55°. Так как O, P и C лежат на одной прямой, углы TOP и TOC являются смежными: угол TOC равен 180° − 55° = 125°.

В прямоугольном треугольнике CTO угол CTO равен 180° − 90° − 125° = −35°? Однако луч OP направлен от O к C, а луч OT — к точке касания; меньший центральный угол между ними равен 55°. Поэтому угол между OT и OC равен 55°, и угол при C равен 90° − 55° = 35°.

Ответ: 35°.