16 Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке О. Угол ACB равен 59°. Найдите угол AOD.

Решение:

1. Угол ADB равен углу ACB.

Углы \( ∅ ACB \) и \( ∅ ADB \) опираются на одну и ту же дугу \( AB \). Следовательно, \( ∅ ADB = ∅ ACB = 59° \).

2. Треугольник AOD равнобедренный.

Так как \( AO \) и \( DO \) — радиусы одной окружности, то \( AO = DO \). Значит, \( △ AOD \) — равнобедренный.

3. Угол AOD равен углу BOC.

Углы \( ∅ AOD \) и \( ∅ BOC \) являются вертикальными, поэтому они равны.

4. Рассмотрим треугольник BOC.

\( △ BOC \) — прямоугольный, так как \( ∅ OBC \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр \( BC \) (по условию \( AC \) и \( BD \) — диаметры, а \( BC \) — хорда).

5. Найдем угол BOC.

В прямоугольном треугольнике \( △ OBC \) (предполагая, что \( ∅ BOC \) — прямой, но это не так, так как \( OB \) и \( OC \) — радиусы), нам нужно найти \( ∅ BOC \). Угол \( ∅ OCB = 59° \) (это тот же угол \( ∅ ACB \)).

Коррекция:

\( △ AOD \) и \( △ BOC \) — вертикальные углы, поэтому \( ∅ AOD = ∅ BOC \).

Рассмотрим \( △ BOC \). \( OB = OC \) (радиусы), значит, \( △ BOC \) — равнобедренный.

Угол \( ∅ OCB = 59° \).

Так как \( ∅ BOC \) и \( ∅ OCB \) — углы равнобедренного треугольника, и \( ∅ OCB = 59° \), то \( ∅ OBC = 59° \) (углы при основании \( BC \)).

Сумма углов в \( △ BOC \):

\[ ∅ BOC + ∅ OBC + ∅ OCB = 180° \]

\[ ∅ BOC + 59° + 59° = 180° \]

\[ ∅ BOC + 118° = 180° \]

\[ ∅ BOC = 180° - 118° = 62° \]

Так как \( ∅ AOD = ∅ BOC \) (вертикальные углы), то \( ∅ AOD = 62° \).

Ответ: 62