16. Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром в точке О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Дано:
• Окружность с центром в точке \( O \).
• \( AC \) и \( BD \) — диаметры.
• \( \angle ACB = 54^{\circ} \)
2. Найти: \( \angle AOD \)
3. Решение:
• Угол \( ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \).
• Центральный угол, опирающийся на ту же дугу \( AB \), равен \( \angle AOB \).
• Связь между вписанным и центральным углом: \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \).
• \( \angle AOB = 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ} \).
• Углы \( AOB \) и \( AOD \) являются смежными, если точки \( B, O, D \) лежат на одной прямой, что верно, так как \( BD \) — диаметр.
• Однако, \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — вертикальные углы. Углы \( AOD \) и \( BOC \) — вертикальные углы.
• Угол \( BOC \) смежен с углом \( AOB \). \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
• Вертикальные углы равны, значит \( \angle AOD = \angle BOC \).
• \( \angle AOD = 72^{\circ} \).

Ответ: 72