16. Прямая касается окружности в точке А. Точка О — центр окружности (см. рис. 120). Хорда АВ образует с касательной угол, равный 63°. Найдите величину угла ОВА. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Свойство касательной: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \), где AC — касательная.
2. Угол между касательной и хордой: Угол между касательной (AC) и хордой (AB) равен половине дуги, которую они стягивают. То есть, \( \angle CAB = 63^{\circ} \).
3. Центральный угол: Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен \( \angle AOB \). Угол \( \angle CAB \) стягивает дугу AB. По теореме о касательной и хорде, \( \angle CAB = \frac{1}{2} \text{дуги } AB \). Значит, величина дуги AB равна \( 2 \cdot 63^{\circ} = 126^{\circ} \). Соответственно, центральный угол \( \angle AOB = 126^{\circ} \).
4. Треугольник OAB: Треугольник OAB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности (OA = OB).
5. Углы в равнобедренном треугольнике: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. \( \angle OBA = \angle OAB \).
6. Нахождение угла OBA: Сумма углов в треугольнике OAB равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle OBA + \angle OAB + \angle AOB = 180^{\circ} \)

\( \angle OBA + \angle OBA + 126^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} - 126^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 54^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{54^{\circ}}{2} = 27^{\circ} \).

Ответ: 27.