16. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 7√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Задание 16. Окружности и квадрат

Давай разберемся с этим заданием. У нас есть квадрат, и вокруг него описаны две окружности: одна вписанная (внутри квадрата) и одна описанная (вокруг квадрата).

• Радиус вписанной окружности: \( r_{in} = 7√2 \).

Нам нужно найти радиус описанной окружности: \( r_{out} \).

Решение:

1. Связь радиуса вписанной окружности и квадрата: Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.
2. \( d_{in} = 2 \times r_{in} = 2 \times 7√2 = 14√2 \).
3. Значит, сторона квадрата \( a = 14√2 \).
4. Связь радиуса описанной окружности и квадрата: Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата.
5. Найдем диагональ квадрата \( d \) по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).
6. \( d = √(2a^2) = a√2 \).
7. Подставим значение стороны квадрата: \( d = (14√2) √2 = 14 \times 2 = 28 \).
8. Радиус описанной окружности: \( r_{out} = \frac{d}{2} = \frac{28}{2} = 14 \).

Ответ: 14