16. Решить уравнение: sin x cos x - 2cos²x + 3sin²x = 0

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Его можно решить, разделив все члены на \( \cos^2 x \), но при этом нужно учесть случай \( \cos x = 0 \).

1. Проверим, является ли \( \cos x = 0 \) решением уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \).

Подставим в уравнение:

\( \sin x \cdot 0 - 2(0)^2 + 3(\pm 1)^2 = 0 \)

\( 0 - 0 + 3(1) = 0 \)

\( 3 = 0 \)

Это неверно, значит \( \cos x \neq 0 \).

2. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\[ \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]

\[ \frac{\sin x}{\cos x} - 2 + 3\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 0 \]

\[ \operatorname{tg} x - 2 + 3\operatorname{tg}^2 x = 0 \]

3. Пусть \( t = \operatorname{tg} x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 3t^2 + t - 2 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 \).

Корни уравнения:

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(3)} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(3)} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]

5. Теперь вернемся к замене \( t = \operatorname{tg} x \):

а) \( \operatorname{tg} x = \frac{2}{3} \) \( \Rightarrow x = \operatorname{arctg} \left(\frac{2}{3}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) \( \operatorname{tg} x = -1 \) \( \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} \left(\frac{2}{3}\right) + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).