16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной около него окружности, значит, диагональ \( d = 10 \).

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). По условию \( \sin \alpha = 0,8 \).

Сторона \( a = d \cdot \cos \alpha \).

Другая сторона \( b = d \cdot \sin \alpha \).

Мы знаем \( \sin \alpha = 0,8 \). Найдем \( \cos \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).

\[ \cos^2 \alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 \]

\[ \cos \alpha = \sqrt{0,36} = 0,6 \]

Теперь найдем стороны прямоугольника:

\[ a = 10 \cdot 0,6 = 6 \]

\[ b = 10 \cdot 0,8 = 8 \]

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48 \]

Ответ: 48.