16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике диагональ является диаметром описанной окружности. По условию, диаметр равен 26, значит, диагональ \( d = 26 \).

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \). Угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \) обозначим \( \alpha \).

По условию, синус угла между стороной и диагональю равен \( \frac{5}{13} \). Этот угол может быть углом между стороной \( a \) и диагональю, или между стороной \( b \) и диагональю.

Если мы возьмем угол между стороной \( b \) и диагональю \( d \), то \( \sin(\alpha) = \frac{b}{d} \).

\( \frac{5}{13} = \frac{b}{26} \)

Отсюда \( b = \frac{5}{13} \cdot 26 = 5 \cdot 2 = 10 \).

Теперь найдем сторону \( a \) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).

\( a^2 + 10^2 = 26^2 \)

\( a^2 + 100 = 676 \)

\( a^2 = 676 - 100 \)

\( a^2 = 576 \)

\( a = \sqrt{576} = 24 \).

Площадь прямоугольника \( S = a \cdot b \).

\( S = 24 \cdot 10 = 240 \).

Если бы мы взяли угол между стороной \( a \) и диагональю, то \( \sin(\beta) = \frac{a}{d} \). Тогда \( a = 10 \) и \( b = 24 \). Площадь осталась бы прежней.

Ответ: 240