16* Старинная задача. Крестьянин пришёл к царю и попросил: «Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада». Царь разрешил. Пошёл крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе есть только одни ворота и около каждых ворот стоит сторож. Когда крестьянин проходил мимо первого сторожа, тот сказал ему: «Возьми яблоки, но при выходе отдашь мне половину яблок, которые у тебя будут, и ещё одно». То же сказали ему и другие сторожа, охранявшие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы, отдав положенные части трём сторожам, унести домой одно яблоко?

Решение:

Обозначим количество яблок, которое взял крестьянин, как \( X \). После прохождения через все три забора и отдав яблоки сторожам, у него должно остаться 1 яблоко.

Рассмотрим задачу с конца:

1. Перед третьим сторожем: Пусть перед выходом от третьего сторожа у крестьянина было \( y \) яблок. Он отдал половину и ещё одно, и у него осталось 1 яблоко. Значит, \( \frac{y}{2} - 1 = 1 \).
2. Отсюда \( \frac{y}{2} = 1 + 1 = 2 \), и \( y = 2 \cdot 2 = 4 \) яблока. То есть перед третьим сторожем у него было 4 яблока.
3. Перед вторым сторожем: Пусть перед выходом от второго сторожа у крестьянина было \( z \) яблок. Он отдал половину и ещё одно, и у него осталось 4 яблока (которые он пронёс до третьего сторожа). Значит, \( \frac{z}{2} - 1 = 4 \).
4. Отсюда \( \frac{z}{2} = 4 + 1 = 5 \), и \( z = 2 \cdot 5 = 10 \) яблок. То есть перед вторым сторожем у него было 10 яблок.
5. Перед первым сторожем: Пусть перед выходом от первого сторожа у крестьянина было \( X \) яблок (это общее количество, которое он взял). Он отдал половину и ещё одно, и у него осталось 10 яблок (которые он пронёс до второго сторожа). Значит, \( \frac{X}{2} - 1 = 10 \).
6. Отсюда \( \frac{X}{2} = 10 + 1 = 11 \), и \( X = 2 \cdot 11 = 22 \) яблока.

Проверка:

Крестьянин взял 22 яблока.

• Отдал первому сторожу: \( \frac{22}{2} - 1 = 11 - 1 = 10 \) яблок. Осталось \( 22 - 10 = 12 \) яблок.
• Отдал второму сторожу: \( \frac{12}{2} - 1 = 6 - 1 = 5 \) яблок. Осталось \( 12 - 5 = 7 \) яблок.
• Отдал третьему сторожу: \( \frac{7}{2} - 1 \). Здесь возникает дробное число. Перечитаем условие: «половину яблок, которые у тебя будут». Это означает, что количество яблок перед каждым сторожем должно быть чётным.

Перерешаем, учитывая чётность:

Пусть \( k \) - количество яблок, которое осталось у крестьянина после всех сторожей. \( k = 1 \).

Перед третьим сторожем было \( x_3 \) яблок. \( \frac{x_3}{2} - 1 = k \) => \( \frac{x_3}{2} = k+1 \) => \( x_3 = 2(k+1) = 2(1+1) = 4 \) яблока.

Перед вторым сторожем было \( x_2 \) яблок. \( \frac{x_2}{2} - 1 = x_3 \) => \( \frac{x_2}{2} = x_3+1 \) => \( x_2 = 2(x_3+1) = 2(4+1) = 10 \) яблок.

Перед первым сторожем было \( x_1 \) яблок. \( \frac{x_1}{2} - 1 = x_2 \) => \( \frac{x_1}{2} = x_2+1 \) => \( x_1 = 2(x_2+1) = 2(10+1) = 22 \) яблока.

Проверка с учётом чётности:

Крестьянин взял 22 яблока. Это чётное число.

• У первого сторожа: \( 22 \) яблок. Отдаёт \( \frac{22}{2} - 1 = 11 - 1 = 10 \). Остаётся \( 22 - 10 = 12 \) яблок. (12 - чётное)
• У второго сторожа: \( 12 \) яблок. Отдаёт \( \frac{12}{2} - 1 = 6 - 1 = 5 \). Остаётся \( 12 - 5 = 7 \) яблок. (7 - нечётное)

В условии задачи есть некоторая неоднозначность, которая приводит к дробным числам или несовпадению при проверке, если исходить из того, что количество яблок перед каждым сторожем должно быть таким, чтобы отдать ровно половину.

Однако, классическое решение этой задачи строится именно так, как показано выше. Возможно, в старинных задачах допускались подобные моменты или речь шла о возможности деления.

Если считать, что крестьянин мог отдать половину, даже если число было нечётным (например, имея 7 яблок, он отдал 3.5, что нереалистично, или же имеется в виду, что он должен отдать целую половину + 1, и если не получается ровно, то условие не выполнено), то наиболее логичным является ответ, полученный методом обратного хода.

Рассмотрим другой подход, если количество яблок может быть нечётным перед сторожем:

Пусть \( x \) - начальное количество яблок.

После 1-го сторожа: \( (x - 1) / 2 \)

После 2-го сторожа: \( (((x - 1) / 2) - 1) / 2 \)

После 3-го сторожа: \( ((((x - 1) / 2) - 1) / 2) - 1) / 2 = 1 \)

\( ((((x - 1) / 2) - 1) / 2) - 1) = 2 \)

\( (((x - 1) / 2) - 1) / 2 = 3 \)

\( ((x - 1) / 2) - 1 = 6 \)

\( (x - 1) / 2 = 7 \)

\( x - 1 = 14 \)

\( x = 15 \)

Проверка:

Взял 15 яблок.

• 1-й сторож: отдал \( 15/2 \) - это не целое число.

Самый вероятный ответ, основанный на стандартном решении подобной задачи:

Если бы условие было, что он отдает половину *оставшихся*, то ответ был бы 22. Но условие «половину яблок, которые у тебя будут, и ещё одно» предполагает, что после отдания половины и одного, у него остаётся ровно столько, сколько нужно для прохода дальше.

Переформулируем условие:

Пусть \( N \) - количество яблок, которое он берёт.

У первого сторожа: он отдаёт \( N/2 + 1 \) яблок, остаётся \( N - (N/2 + 1) = N/2 - 1 \) яблок.

У второго сторожа: он отдаёт \( (N/2 - 1)/2 + 1 \) яблок, остаётся \( (N/2 - 1) - ((N/2 - 1)/2 + 1) = (N/2 - 1)/2 - 1 \) яблок.

У третьего сторожа: он отдаёт \( (((N/2 - 1)/2 - 1)/2) + 1 \) яблок, остаётся \( (((N/2 - 1)/2 - 1)/2) - 1 \) яблок.

Это равно 1 яблоку.

\( (((N/2 - 1)/2 - 1)/2) - 1 = 1 \)

\( (((N/2 - 1)/2 - 1)/2) = 2 \)

\( ((N/2 - 1)/2 - 1) = 4 \)

\( (N/2 - 1)/2 = 5 \)

\( N/2 - 1 = 10 \)

\( N/2 = 11 \)

\( N = 22 \)

Проверка:

Взял 22 яблока.

• 1-й сторож: отдал \( 22/2 + 1 = 11 + 1 = 12 \). Осталось \( 22 - 12 = 10 \).
• 2-й сторож: отдал \( 10/2 + 1 = 5 + 1 = 6 \). Осталось \( 10 - 6 = 4 \).
• 3-й сторож: отдал \( 4/2 + 1 = 2 + 1 = 3 \). Осталось \( 4 - 3 = 1 \).

Ответ: Крестьянин должен взять 22 яблока.