16. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите AC, если BC = 12, а радиус окружности равен 6,5.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Это означает, что треугольник является прямоугольным, а гипотенузой — сторона, на которой лежит центр.

В нашем случае, центр лежит на стороне AB, значит, AB — диаметр окружности. Следовательно, \[ \angle C = 90^° \], то есть треугольник ABC — прямоугольный.

Диаметр окружности равен двум радиусам:

\[ AB = 2 \times R = 2 \times 6.5 = 13 \]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где:

• \[ BC = 12 \] (катет)
• \[ AB = 13 \] (гипотенуза)

Нам нужно найти катет AC. Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AC^2 + 12^2 = 13^2 \]

\[ AC^2 + 144 = 169 \]

Выразим \[ AC^2 \]:

\[ AC^2 = 169 - 144 \]

\[ AC^2 = 25 \]

Найдем AC:

\[ AC = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: 5