16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число); с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.; в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тыс. руб. ИЛИ 15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A миллионов рублей на 24 месяца. Условия возврата кредита таковы: 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; к 15 декабря 2028 года долг должен быть полностью погашен. Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тысяч рублей?

Первый вариант. С июля 2025 по июль 2030 долг уменьшается на одинаковую сумму за пять лет:

\((800-200):5=120\) тыс. руб. в год.

Далее долг уменьшается с 200 тыс. руб. до нуля за пять лет, то есть на 40 тыс. руб. в год. Проценты начисляются на долг, имевшийся в июле предыдущего года. Сумма таких долгов за 10 лет:

\(800+680+560+440+320+200+160+120+80+40=3400\) тыс. руб.

Общая сумма выплат равна первоначальному долгу плюс начисленные проценты. Значит, проценты составили \(1480-800=680\) тыс. руб. Тогда \(3400\cdot r/100=680\), откуда \(r=20\).

Ответ для первого варианта: 20.

Второй вариант. Обозначим ежемесячное уменьшение основного долга через \(d\) миллионов рублей. За 24 месяца долг уменьшается с \(A\) до нуля, поэтому \(d=A/24\).

В 2028 году за 12 платежей погашается основного долга \(12d=A/2\). Проценты за эти месяцы начисляются на остатки, равные \(A/2, 11A/24, 10A/24,\ldots,A/24\). Их сумма составляет \(78A/24=13A/4\), а начисленные проценты — \(0.03\cdot13A/4=0.0975A\) миллиона рублей.

Итак, платежи 2028 года составили \(A/2+0.0975A=0.5975A\) миллиона рублей. По условию это 17.925 миллиона рублей, поэтому \(A=17.925/0.5975=30\).

Ответ для второго варианта: 30 миллионов рублей.