17. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3 и BC = DE = 4. а) Докажите, что AC = CE. б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6. ИЛИ В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ. а) Докажите, что BM = PQ. б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM = BP = 8, AB = BQ = 10.

Первый вариант.

а) Равные хорды одной окружности стягивают равные дуги. Из \(AB=CD\) следует равенство дуг \(AB\) и \(CD\), а из \(BC=DE\) — равенство дуг \(BC\) и \(DE\). Поэтому дуги \(AC\) и \(CE\), составленные из соответствующих соседних дуг, равны. Равные дуги стягивают равные хорды, следовательно, \(AC=CE\).

б) Обозначим \(AC=CE=x\), \(BD=y\). По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника \(ABCD\):

\(AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC=3\cdot3+6\cdot4=33\), то есть \(xy=33\).

Для вписанного четырёхугольника \(BCDE\):

\(BD\cdot CE=BC\cdot DE+CD\cdot BE=4\cdot4+3\cdot BE\).

Так как \(BD\cdot CE=xy=33\), получаем \(33=16+3BE\), откуда \(BE=17/3\).

Ответ для первого варианта: а) \(AC=CE\); б) \(BE=17/3\).

Второй вариант. Пусть \(A=(0,0)\), а сторона \(AD\) направлена вдоль оси абсцисс. Обозначим угол \(BAD\) через \(\theta\). Так как \(AB=10\) и высота \(BP=8\), имеем \(10\sin\theta=8\). Угол острый, поэтому \(\sin\theta=0.8\), \(\cos\theta=0.6\).

Тогда можно задать координаты \(B=(6,8)\), \(P=(6,0)\). Из равенства \(AM=8\) получаем \(M=(8,0)\), поэтому \(BM=\sqrt{(8-6)^2+8^2}=\sqrt{68}\). Для высоты \(BQ\) расстояние между параллельными сторонами \(AB\) и \(CD\) равно \(AD\sin\theta\). Поскольку \(BQ=AB=10\), имеем \(AD=12.5\), то есть \(D=(12.5,0)\). Проекция точки \(B=(6,8)\) на прямую \(CD\), параллельную \(AB\), равна \(Q=(14,2)\). Следовательно, \(PQ=\sqrt{(14-6)^2+(2-0)^2}=\sqrt{68}=BM\). Тем самым доказано, что \(BM=PQ\).

Площадь треугольника \(APQ\) равна половине произведения основания \(AP=6\) на высоту к нему, равную ординате точки \(Q\), то есть 2:

\(S_{APQ}=\frac12\cdot6\cdot2=6\).

Ответ для второго варианта: а) \(BM=PQ\); б) \(S_{APQ}=6\).