18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений (x² − 5x − y + 3) · √(x − y + 3) = 0, y = 3x + a имеет ровно два различных решения. ИЛИ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (|x − a²| + |x + 1|)² − 7(|x − a²| + |x + 1|) + 4a² + 4 = 0 имеет ровно два различных корня.

Первый вариант. Подставим \(y=3x+a\). Получаем \((x^2-8x+3-a)\sqrt{3-2x-a}=0\), причём область определения задаётся условием \(x\le(3-a)/2\). Обозначим граничное значение через \(x_0=(3-a)/2\). Оно всегда является решением из-за нулевого множителя под корнем.

Квадратный множитель имеет действительные корни только при \(a\ge-13\). Положим \(z=\sqrt{a+13}\), тогда его корни равны \(4-z\) и \(4+z\), а \(x_0=8-z^2/2\). Корень \(4-z\) удовлетворяет области определения при \(z\le4\); корень \(4+z\) — при \(z\le2\).

При \(z=0\) квадратный множитель даёт один корень, отличный от \(x_0\), поэтому всего решений два. При \(0<z<2\) имеются два допустимых корня квадратного множителя и отдельное решение \(x_0\), то есть три решения. При \(2\le z<4\) допустим только меньший корень, и вместе с \(x_0\) получается два решения. При \(z\ge4\) остаётся не более одного решения.

Следовательно, \(z=0\) или \(2\le z<4\). Возвращаясь к параметру, получаем \(a=-13\) или \(-9\le a<3\).

Ответ для первого варианта: \(a=-13\) или \(a\in[-9;3)\).

Второй вариант. Обозначим \(p=a^2\ge0\) и \(S=|x-p|+|x+1|\). Минимальное значение \(S\) равно \(p+1\) и достигается на всём отрезке \([-1,p]\). При \(S>p+1\) каждому значению \(S\) соответствуют ровно два значения \(x\).

Уравнение относительно \(S\): \(S^2-7S+4p+4=0\), его дискриминант равен \(33-16p\). Чтобы получить ровно два корня по \(x\), должен существовать ровно один различный корень этого квадратного уравнения, строго больший \(p+1\). Если \(p<2\), значение \(p+1\) лежит между корнями, поэтому ровно один из них больше минимума и даёт два корня по \(x\). При \(p=2\) один корень совпадает с минимумом, что даёт целый отрезок решений, поэтому это значение не подходит. При \(2<p\le33/16\) оба корня больше минимума, кроме граничного случая \(p=33/16\), когда они совпадают и дают ровно два значения \(x\). При \(p>33/16\) действительных значений \(S\text{ нет.}\)

Итак, \(a^2<2\) или \(a^2=33/16\).

Ответ для второго варианта: \(-\sqrt2<a<\sqrt2\) или \(a=\pm\sqrt{33}/4\).