16. В окружности с центром в точке О окружены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности. если АВ = 35см, АО = 37см.

Решение:

По условию, \( AB \) — касательная к окружности, а \( AO \) — секущая. Центр окружности — \( O \). Точка касания — \( B \) (так как \( AB \) — касательная).

Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( OB \) перпендикулярно \( AB \), и \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

Таким образом, \( \triangle ABO \) — прямоугольный треугольник с гипотенузой \( AO \) и катетами \( AB \) и \( OB \).

По теореме Пифагора:

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]\[ 37^2 = 35^2 + OB^2 \]\[ 1369 = 1225 + OB^2 \]\[ OB^2 = 1369 - 1225 \]\[ OB^2 = 144 \]\[ OB = \sqrt{144} \]\[ OB = 12 \]

Чертеж

Радиус окружности \( OB \) равен 12 см.

Ответ: 12 см