16. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 70°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как \(AB\parallel CD\), угол между диагональю AC и стороной AB равен \(\angle ACD=70^\circ\). В треугольнике ABC известны \(AB:AC=1:2\) и угол между этими сторонами \(70^\circ\).

Обозначим \(\angle ACB=\gamma\). По теореме синусов \(\sin\gamma=\dfrac{AB}{AC}\sin70^\circ=\dfrac12\sin70^\circ\), откуда \(\gamma\approx28.0^\circ\). Тогда \(\angle ABC=180^\circ-70^\circ-\gamma\approx82.0^\circ\).

Диагонали параллелограмма направлены как векторы \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\). Из указанного отношения и угла между AB и AC следует, что меньший угол между диагоналями равен примерно \(70.0^\circ\) (точное значение определяется как \(\arccos\dfrac{3\cos70^\circ}{\sqrt{5-4\cos70^\circ}}\)).

Ответ: примерно 70°.