16 В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 22√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ:

Задание 16. Радиус описанной окружности

Дано:

• Треугольник ABC.
• Угол \( C = 120^\circ \).
• Сторона \( AB = 22\sqrt{3} \).

Найти: радиус описанной окружности (R).

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$

В нашем случае сторона \( c \) — это \( AB \), а противолежащий угол — \( C \). Поэтому мы можем записать:

$$ \frac{AB}{\sin C} = 2R $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{22\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = 2R $$

Значение \( \sin 120^\circ \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

$$ \frac{22\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R $$

Разделим числитель на знаменатель (умножим на обратную дробь):

$$ 22\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R $$

Сократим \( \sqrt{3} \):

$$ 22 \times 2 = 2R $$ $$ 44 = 2R $$

Теперь найдем радиус \( R \), разделив обе части на 2:

$$ R = \frac{44}{2} = 22 $$

Ответ: 22