16. В треугольнике ABC угол C равен 60°, AB = 10√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Задание 16. Радиус описанной окружности

В этой задаче нам поможет теорема синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

Дано:

• Треугольник ABC.
• \( \angle C = 60^{\circ} \).
• Сторона \( AB = 10\sqrt{3} \).

Найти: радиус описанной окружности \( R \).

Решение:

Согласно теореме синусов:

\[ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{10\sqrt{3}}{\sin(60^{\circ})} = 2R \]

Мы знаем, что \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставляем это значение:

\[ \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]

Упрощаем дробь:

\[ 10\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R \]

\[ 20 = 2R \]

Теперь находим радиус \( R \):

\[ R = \frac{20}{2} \]

\[ R = 10 \]

Ответ: Радиус описанной окружности равен 10.