17. Площадь параллелограмма ABCD равна 112. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Задание 17. Площадь треугольника внутри параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = 112 \).
• Точка E — середина стороны AB.

Найти: площадь треугольника CBE \( S_{CBE} \).

Решение:

1. Пусть основание параллелограмма AB равно \( a \), а высота, опущенная на это основание, равна \( h \). Тогда площадь параллелограмма равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot h = 112 \]
2. Теперь рассмотрим треугольник CBE. Его основанием является отрезок BE. Так как E — середина AB, то \( BE = \frac{a}{2} \).
3. Высота, опущенная из вершины C на сторону AB (или ее продолжение), будет той же самой высотой \( h \), что и для параллелограмма, потому что сторона BC параллельна AD.
4. Площадь треугольника CBE вычисляется по формуле: \[ S_{CBE} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot h \]
5. Подставим \( BE = \frac{a}{2} \): \[ S_{CBE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h \]
6. Упростим: \[ S_{CBE} = \frac{1}{4} \cdot a \cdot h \]
7. Мы знаем, что \( a \cdot h = 112 \) (площадь параллелограмма). Подставим это значение: \[ S_{CBE} = \frac{1}{4} \cdot 112 \]
8. Вычислим площадь: \[ S_{CBE} = 28 \]

Ответ: Площадь треугольника CBE равна 28.