163. \(\frac{a}{a+c} - \frac{2ac}{a^2-c^2} + \frac{c}{a-c}\)

Решение:

Заметим, что знаменатель \( a^2 - c^2 \) раскладывается как разность квадратов: \( a^2 - c^2 = (a-c)(a+c) \). Это будет общий знаменатель для всех дробей.

1. Первая дробь: \( \frac{a}{a+c} = \frac{a x (a-c)}{(a+c) x (a-c)} = \frac{a^2-ac}{a^2-c^2} \)
2. Вторая дробь остается без изменений: \( \frac{2ac}{a^2-c^2} \)
3. Третья дробь: \( \frac{c}{a-c} = \frac{c x (a+c)}{(a-c) x (a+c)} = \frac{ac+c^2}{a^2-c^2} \)
4. Подставим преобразованные дроби в исходное выражение:

\[ \frac{a^2-ac}{a^2-c^2} - \frac{2ac}{a^2-c^2} + \frac{ac+c^2}{a^2-c^2} \]

Теперь вычтем и сложим числители:

\[ \frac{(a^2-ac) - 2ac + (ac+c^2)}{a^2-c^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{a^2 - ac - 2ac + ac + c^2}{a^2-c^2} \]

Сократим подобные члены в числителе:

\[ \frac{a^2 - 2ac + c^2}{a^2-c^2} \]

Заметим, что числитель является квадратом разности: \( a^2 - 2ac + c^2 = (a-c)^2 \). А знаменатель — разность квадратов: \( a^2-c^2 = (a-c)(a+c) \).

Таким образом, выражение примет вид:

\[ \frac{(a-c)^2}{(a-c)(a+c)} \]

Сократим одну скобку \( (a-c) \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{a-c}{a+c} \]

Ответ:

\( \frac{a-c}{a+c} \)