164 Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Доказательство:

Пусть у нас есть два равнобедренных треугольника: ABC и A'B'C'.

Пусть AC — основание первого треугольника, а AB = BC — его боковые стороны. Угол, противолежащий основанию AC, — это угол ABC (угол при вершине).

Пусть A'C' — основание второго треугольника, а A'B' = B'C' — его боковые стороны. Угол, противолежащий основанию A'C', — это угол A'B'C' (угол при вершине).

По условию задачи:

• Боковая сторона одного треугольника равна боковой стороне другого: \( AB = A'B' \) (следовательно, \( BC = B'C' \)).
• Угол, противолежащий основанию, одного треугольника равен углу, противолежащему основанию, другого: \( ∠ ABC = ∠ A'B'C' \).

Мы имеем два равнобедренных треугольника ABC и A'B'C', у которых равны две стороны и угол между ними:

• \( AB = A'B' \) (дано)
• \( BC = B'C' \) (так как треугольники равнобедренные и \( AB = BC \), \( A'B' = B'C' \))
• \( ∠ ABC = ∠ A'B'C' \) (дано)

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник ABC равен треугольнику A'B'C'.

Следовательно, два равнобедренных треугольника равны.