165. Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B; б) [текст задания обрезан на фотографии].

а) Пусть точка \(C\) принадлежит прямой \(a\), а точка \(O\) — середина отрезка \(AB\). Тогда \(AO=BO\), а так как \(a\perp AB\), то \(\angle AOC=\angle BOC=90^\circ\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AOC\) и \(BOC\). В них \(AO=BO\), сторона \(OC\) общая, а углы между ними прямые. Поэтому треугольники равны по двум катетам.

Следовательно, соответствующие гипотенузы равны:

\[CA=CB.\]

Значит, каждая точка прямой \(a\) равноудалена от точек \(A\) и \(B\).

Пункт б) невозможно выполнить полностью: его продолжение обрезано на фотографии.