166. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы AM и A₁M₁ равны, BC = B₁C₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Так как AM и A₁M₁ — медианы, точки M и M₁ являются серединами соответствующих сторон:

\(MB=\frac{BC}{2}\), \(M_1B_1=\frac{B_1C_1}{2}\). Из условия \(BC=B_1C_1\), поэтому \(MB=M_1B_1\).

В треугольниках \(AMB\) и \(A_1M_1B_1\):

• \(AM=A_1M_1\) по условию;
• \(MB=M_1B_1\);
• \(\angle AMB=\angle A_1M_1B_1\) по условию.

Следовательно, \(\triangle AMB=\triangle A_1M_1B_1\) по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(AB=A_1B_1\) и \(\angle ABM=\angle A_1B_1M_1\).

Так как точки \(B,M,C\) и \(B_1,M_1,C_1\) лежат на одной прямой, то \(\angle ABC=\angle A_1B_1C_1\). Теперь в треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\), а углы между ними равны.

Ответ: \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними.