168. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Пусть \(ABC\) — равнобедренный треугольник, причём \(AB=AC\). Обозначим через \(M\), \(N\), \(P\) середины сторон \(AB\), \(AC\), \(BC\) соответственно.

По теореме о средней линии треугольника:

• \(MN\parallel BC\) и \(MN=\frac{BC}{2}\);
• \(MP\parallel AC\) и \(MP=\frac{AC}{2}\);
• \(NP\parallel AB\) и \(NP=\frac{AB}{2}\).

Так как \(AB=AC\), то \(NP=MP\). Следовательно, треугольник \(MNP\) равнобедренный.

Ответ: треугольник, вершинами которого являются середины сторон исходного равнобедренного треугольника, также является равнобедренным.