167. Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, CE, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна \(a\), а каждый из добавленных отрезков равен \(x\): \(AD=CE=BF=x\).

Рассмотрим треугольник ADF. Так как \(AB=AC=a\), \(AD=BF=x\), а угол между сторонами, содержащими эти отрезки, равен \(60^\circ\), по теореме косинусов:

\[DF^2=(a+x)^2+x^2-2x(a+x)\cos60^\circ=a^2+ax+x^2.\]

Аналогично, вследствие циклического расположения точек A, B, C, получаем:

\[DE^2=a^2+ax+x^2,\qquad EF^2=a^2+ax+x^2.\]

Значит, \(DE=EF=FD\). Следовательно, треугольник DEF равносторонний.

Ответ: треугольник DEF — равносторонний.