168. Точка пересечения медиан AN и CM треугольника ABC является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

168. Доказательство:

Пересечение медиан треугольника — это его центроид. Центроид является центром тяжести треугольника.

Из условия задачи следует, что центроид (точка пересечения медиан) совпадает с центром вписанной окружности. Центр вписанной окружности является центром биссектрис.

В любом треугольнике центроид и центр вписанной окружности совпадают тогда и только тогда, когда треугольник является равносторонним.

Обоснование:

В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами. Точка их пересечения (центроид) является центром вписанной и описанной окружностей.

Таким образом, если точка пересечения медиан является центром вписанной окружности, то треугольник ABC равносторонний.