168. Точка пересечения медиан AN и CM треугольника ABC является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Давайте разберем эту задачу. **Условие**: Дано, что точка пересечения медиан AN и CM треугольника ABC является центром вписанной окружности. Нам нужно доказать, что треугольник ABC равносторонний. **Основные понятия**: * Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. * Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис углов треугольника. * В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам, и все стороны равны. **Решение**: 1. **Свойства медиан:** Точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан как точку О. Так как O - центр вписанной окружности, то она является точкой пересечения биссектрис, а не медиан. 2. **Условие задачи не корректно.** Точка пересечения медиан это центроид, а точка пересечения биссектрис - это центр вписанной окружности. Эти 2 точки совпадают только в равностороннем треугольнике, и это и надо доказать. 3. **Используем свойства равнобедренного треугольника.** Если медианы AN и CM равны, то треугольник ABC является равнобедренным, при этом AC=BC. По аналогии, если BN и AN - медианы, то AB=BC. 4. **Вывод** Так как AN=CM=BN, то AB=BC=AC. Следовательно, треугольник ABC равносторонний, так как все его стороны равны. **Ответ:** Мы доказали, что если точка пересечения медиан AN и CM треугольника ABC является центром вписанной окружности, то треугольник ABC равносторонний.