169. Из точки O, принадлежащей биссектрисе BM треугольника ABC, проведены перпендикуляры OK и OF соответственно к сторонам AB и AC. Докажите, что если OK = OF, то точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Давайте разберем эту задачу. **Условие**: Дано, что точка O принадлежит биссектрисе BM треугольника ABC. Из точки O проведены перпендикуляры OK к стороне AB и OF к стороне AC. Известно, что OK = OF. Нужно доказать, что точка O является центром вписанной в треугольник ABC окружности. **Основные понятия**: * Биссектриса угла - луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла. * Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис всех углов треугольника. * Перпендикуляр - прямая, образующая прямой угол (90 градусов) с другой прямой. **Решение**: 1. **Свойства биссектрисы:** Точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла. Так как точка O лежит на биссектрисе угла B, она равноудалена от сторон AB и BC, то есть расстояние от O до AB равно расстоянию от O до BC. 2. **Равенство перпендикуляров:** Из условия мы знаем, что OK = OF. Это означает, что расстояние от точки O до сторон AB и AC одинаково. 3. **Точка O на биссектрисе угла A:** Если расстояние от точки до 2х сторон угла одинаково, то она лежит на биссектрисе этого угла. То есть точка O лежит на биссектрисе угла A. 4. **Пересечение биссектрис**: Так как точка O лежит на биссектрисе угла B (по условию) и на биссектрисе угла A (по пункту 3), то O - точка пересечения биссектрис, а это и есть центр вписанной окружности. **Ответ:** Мы доказали, что если из точки O, принадлежащей биссектрисе BM треугольника ABC, проведены перпендикуляры OK и OF к сторонам AB и AC соответственно, и OK = OF, то точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.