169. Из точки О, принадлежащей биссектрисе BM треугольника ABC, проведены перпендикуляры ОК и OF соответственно к сторонам AB и AC. Докажите, что если ОК = OF, то точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

169. Доказательство:

У нас есть треугольник ABC, и точка O принадлежит биссектрисе BM.

Из точки O проведены перпендикуляры OK к стороне AB и OF к стороне AC.

Что такое центр вписанной окружности?

Центр вписанной окружности — это точка, равноудаленная от всех сторон треугольника. Это значит, что расстояние от центра до каждой стороны (длина перпендикуляра) одинаково.

Рассмотрим условие:

Нам дано, что OK = OF. Это означает, что расстояние от точки O до стороны AB (OK) равно расстоянию от точки O до стороны AC (OF).

Связь с биссектрисой:

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. Поскольку O лежит на биссектрисе BM (которая также является биссектрисой угла B), расстояние от O до AB и BC должно быть одинаковым.

Основной факт:

Если точка равноудалена от двух сторон угла (в данном случае AB и AC), то она лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами. Мы уже знаем, что O лежит на биссектрисе BM.

Вывод:

Если OK = OF, то точка O равноудалена от сторон AB и AC. Так как O также лежит на биссектрисе BM, то она равноудалена от всех трех сторон треугольника ABC (AB, BC, AC). Следовательно, точка O является центром вписанной окружности в треугольник ABC.