1697. а) \(\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=4\); б) \(\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}+5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}=6\).

а) Обозначим \(t=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}\). Для допустимых значений \(x\) имеем \(t>0\), а второй корень равен \(\frac1t\). Тогда \(t+\frac4t=4\), или \(t^2-4t+4=0\). Отсюда \(t=2\).

Следовательно, \(\frac{2x+3}{2x-1}=4\). Решаем: \(2x+3=8x-4\), поэтому \(x=\frac76\). Знаменатель не равен нулю, и подкоренные выражения положительны при этом значении.

б) Обозначим \(t=\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}\), где \(t>0\). Тогда уравнение принимает вид \(t+\frac5t=6\), то есть \(t^2-6t+5=0\). Отсюда \((t-1)(t-5)=0\), поэтому \(t=1\) или \(t=5\).

Если \(t=1\), то \(\frac{5x-1}{x+3}=1\), откуда \(x=1\). Если \(t=5\), то \(\frac{5x-1}{x+3}=25\), откуда \(x=-\frac{38}{5}\). В обоих случаях знаменатель не равен нулю, а подкоренные выражения положительны.

Ответ: а) \(x=\frac76\); б) \(x=1,\;-\frac{38}{5}\).