17. Дано: ABCD — параллелограмм, BD = 5, CD = √41, sin ∠ADB = 4/5. Найдите S_ABCD.

Так как \(AD\parallel BC\), углы \(ADB\) и \(DBC\) равны. В треугольнике \(BCD\) поэтому \(\sin\angle DBC=\frac45\). По рисунку угол острый, значит его косинус равен \(\frac35\).

Обозначим \(BC=x\). По теореме косинусов в треугольнике \(BCD\):

\((\sqrt{41})^2=5^2+x^2-2\cdot5\cdot x\cdot\frac35\).

Получаем \(41=25+x^2-6x\), то есть \((x-8)(x+2)=0\). Длина положительна, поэтому \(BC=8\).

Площадь треугольника \(BCD\): \(S_{BCD}=\frac12\cdot BD\cdot BC\cdot\sin\angle DBC=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac45=16\).

Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, следовательно, \(S_{ABCD}=2\cdot16=32\).

Ответ: 32.