17. Дано: ABCD — параллелограмм, sin ∠ADB = 4/5, BD = 5, DC = √41. Найдите: S_ABCD.

По рисунку угол ADB острый, поэтому cos ∠ADB = 3/5. В параллелограмме AB = DC = √41.

1. Пусть AD = a. По теореме косинусов в треугольнике ABD: 41 = a² + 25 − 2 · a · 5 · 3/5.
2. Получаем a² − 6a − 16 = 0, откуда a = 8 (отрицательный корень не подходит).
3. Площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника ABD: S_ABCD = 2 · (1/2 · AD · BD · sin ∠ADB) = 8 · 5 · 4/5 = 32.

Ответ: 32.

Если не использовать указание рисунка на острый угол, условие допускает также тупой ∠ADB: тогда cos ∠ADB = −3/5, AD = 2, и площадь равна 8. По изображённому острому углу ответ — 32.