17. Диагональ параллелограмма разделили на три равные части. Докажите, что полученные точки деления и две другие его вершины образуют ещё один параллелограмм. (рис.)

Пусть дан параллелограмм \(ABCD\), а диагональ \(AC\) разделена точками \(M\) и \(N\) на три равные части: \(AM=MN=NC\).

1. Так как \(AM=MN=NC\), то \(M\) и \(N\) имеют координатные векторы \(\overrightarrow{AM}=\frac13\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AN}=\frac23\overrightarrow{AC}\).
2. В параллелограмме \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
3. Тогда \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-\overrightarrow{AD}\), а соответствующие противоположные стороны получающейся фигуры оказываются равными и параллельными.
4. Иначе можно заметить, что середина отрезка, соединяющего одну пару вершин новой фигуры, совпадает с серединой отрезка, соединяющего другую пару вершин. Диагонали новой фигуры делятся пополам.

Следовательно, полученная фигура является параллелограммом по признаку параллелограмма: её диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: точки деления диагонали и две указанные вершины образуют параллелограмм.