17 Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, BC = 6, AD = 10, AC = 12. Найдите СО.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \).

\( BC \parallel AD \) как основания трапеции.

\( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные.

\( \angle CBO = \angle ADO \) как накрест лежащие при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \).

\( \angle BCO = \angle DAO \) как накрест лежащие при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \).

Следовательно, \( \triangle BOC \) подобен \( \triangle DOA \) по двум углам (или по трём).

Отношение подобия равно отношению параллельных сторон:

\( k = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно отношению подобия:

\( \frac{CO}{AO} = k = \frac{3}{5} \)

Также, \( CO + AO = AC \). Из \( \frac{CO}{AO} = \frac{3}{5} \) следует, что \( AO = \frac{5}{3} CO \).

Подставим в сумму:

\( CO + \frac{5}{3} CO = 12 \)

\( \frac{3}{3} CO + \frac{5}{3} CO = 12 \)

\( \frac{8}{3} CO = 12 \)

\( CO = 12 \cdot \frac{3}{8} \)

\( CO = \frac{36}{8} \)

\( CO = \frac{9}{2} \)

\( CO = 4.5 \)

Ответ: 4.5