17. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС=9, AD = 16, AC = 15. Найдите СО.

Решение:

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники BOC и DOA подобны.

Это следует из того, что:

• \( \angle BOC = \angle DOA \) (вертикальные углы).
• \( \angle OBC = \angle ODA \) (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BD).
• \( \angle OCB = \angle OAC \) (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).

Таким образом, \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по двум углам.

Отношение подобных сторон равно отношению оснований трапеции:

\( \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} \)

Нам дано:

• \( BC = 9 \)
• \( AD = 16 \)
• \( AC = 15 \)

Мы ищем \( CO \).

Из подобия следует:

\( \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} = \frac{9}{16} \)

Также известно, что \( AC = AO + CO = 15 \).

Из отношения \( \frac{CO}{AO} = \frac{9}{16} \) выразим \( AO \):

\( AO = \frac{16}{9} CO \)

Подставим это в уравнение \( AC = AO + CO \):

\( 15 = \frac{16}{9} CO + CO \)

Приведём к общему знаменателю:

\( 15 = \frac{16 CO + 9 CO}{9} \)

\( 15 = \frac{25 CO}{9} \)

Выразим \( CO \):

\( CO = \frac{15 \cdot 9}{25} \)

\( CO = \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{5 \cdot 5} \)

\( CO = \frac{3 \cdot 9}{5} = \frac{27}{5} \)

\( CO = 5.4 \)

Ответ: 5.4