17) \(\frac{a^{2n} : a^7}{a^7}\) = 1

Решение:

Используем свойства степеней \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Упростим числитель: \( a^{2n} : a^7 = a^{2n - 7} \).
2. Теперь дробь выглядит так: \( \frac{a^{2n - 7}}{a^7} \).
3. Применим правило деления степеней: \( a^{(2n - 7) - 7} = a^{2n - 14} \).
4. По условию, \( a^{2n - 14} = 1 \).
5. Чтобы степень с основанием \( a \) равнялась 1, показатель степени должен быть равен 0 (если \( a \neq 0 \) и \( a \neq 1 \)).
6. Приравниваем показатель к нулю: \( 2n - 14 = 0 \).
7. Решаем уравнение: \( 2n = 14 \) \( n = \frac{14}{2} \) \( n = 7 \).

Ответ: n = 7.