20) \(\frac{(a^4)^3 \cdot (a^5)^2}{(a^3)^{2n}}\) = a^4

Решение:

Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Упростим числитель:
• \( (a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12} \).
• \( (a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10} \).
• \( a^{12} \cdot a^{10} = a^{12 + 10} = a^{22} \).
2. Упростим знаменатель: \( (a^3)^{2n} = a^{3 \cdot 2n} = a^{6n} \).
3. Выражение становится: \( \frac{a^{22}}{a^{6n}} \).
4. Применим правило деления степеней: \( a^{22 - 6n} \).
5. По условию, \( a^{22 - 6n} = a^4 \).
6. Приравниваем показатели степеней: \( 22 - 6n = 4 \).
7. Решаем уравнение: \( -6n = 4 - 22 \) \( -6n = -18 \) \( n = \frac{-18}{-6} \) \( n = 3 \).

Ответ: n = 3.