18) \(\frac\){\(a^{5n} \cdot a^2\) : a^{10}}{a^3} = a^4

Решение:

Используем свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Упростим выражение в скобках в числителе: \( a^{5n} \cdot a^2 = a^{5n + 2} \).
2. Теперь числитель выглядит так: \( (a^{5n + 2}) : a^{10} = a^{5n + 2 - 10} = a^{5n - 8} \).
3. Выражение становится: \( \frac{a^{5n - 8}}{a^3} \).
4. Применим правило деления степеней: \( a^{(5n - 8) - 3} = a^{5n - 11} \).
5. По условию, \( a^{5n - 11} = a^4 \).
6. Приравниваем показатели степеней: \( 5n - 11 = 4 \).
7. Решаем уравнение: \( 5n = 4 + 11 \) \( 5n = 15 \) \( n = \frac{15}{5} \) \( n = 3 \).

Ответ: n = 3.