17. Квадрат вписан в окружность радиуса 1. Найдите периметр прямоугольника, вершины которого по одной лежат на сторонах этого квадрата, а стороны параллельны его диагоналям.

Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали, поэтому диагональ квадрата равна 2. Его сторона равна s = 2/√2 = √2.

Пусть стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, а его вершины лежат на четырёх сторонах квадрата. Если повернуть квадрат так, чтобы стороны прямоугольника стали горизонтальными и вертикальными, квадрат превратится в ромб с диагоналями, равными 2 и 2. Полудиагонали этого ромба равны 1. Обозначим расстояния от центра до двух соседних сторон прямоугольника через x и y. Вершина прямоугольника лежит на стороне ромба, поэтому x + y = 1.

Стороны прямоугольника равны √2x и √2y: поворот координат на 45° даёт этот множитель. Тогда P = 2(√2x + √2y) = 2√2(x + y) = 2√2.

Ответ: 2√2.