18. Вершины M и K равностороннего треугольника AMK принадлежат сторонам BC и CD квадрата ABCD. Докажите, что его сторона MK параллельна BD.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Введём координаты:

\[A(0,0),\quad B(a,0),\quad C(a,a),\quad D(0,a).\]

Так как \(M\in BC\), а \(K\in CD\), запишем:

\[M(a,x),\qquad K(y,a).\]

Треугольник \(AMK\) равносторонний, поэтому \(AM=AK\):

\[a^2+x^2=a^2+y^2,\qquad x=y.\]

Следовательно, координаты точек имеют вид:

\[M(a,x),\qquad K(x,a).\]

Вектор \(\overrightarrow{MK}=(x-a,a-x)\), а направляющий вектор диагонали \(BD\) равен \(\overrightarrow{BD}=(-a,a)\). Эти векторы имеют противоположные по знаку, но равные по модулю координаты, значит, они коллинеарны.

Следовательно, \(MK\parallel BD\).

Ответ: \(MK\parallel BD\).