17. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

Решение:

В равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC, AB = CD) диагональ AC образует:

• с основанием AD угол \( \angle CAD = 30^{\circ} \)
• с боковой стороной CD угол \( \angle ACD = 80^{\circ} \)

1. Найдем угол \( \angle ADC \) в треугольнике ADC. Сумма углов треугольника равна 180°.

\[ \angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ} \]

2. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому углы при основании AD равны:

\[ \angle DAB = \angle ADC = 70^{\circ} \]

3. Так как AD || BC, то углы \( \angle CAD \) и \( \angle ACB \) являются накрест лежащими и равны:

\[ \angle ACB = \angle CAD = 30^{\circ} \]

4. Найдем угол \( \angle BCD \) в трапеции:

\[ \angle BCD = \angle ACD + \angle ACB = 80^{\circ} + 30^{\circ} = 110^{\circ} \]

5. В равнобедренной трапеции углы при боковой стороне равны. Следовательно, \( \angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ} \) (как сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне).

\[ \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \]

Ответ: Угол ABC равен 70°.