15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5; AC = 9. Найдите AB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Нам дано:

• \( \sin A = \frac{4}{5} \)
• \( AC = 9 \)

Мы можем найти косинус угла A, зная, что \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} \]

Так как A — острый угол в прямоугольном треугольнике, \( \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).

Косинус угла A также определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB).

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

Подставим известные значения:

\[ \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} \]

Теперь найдем AB:

\[ AB = \frac{9 \cdot 5}{3} = \frac{45}{3} = 15 \]

Ответ: AB = 15.