15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5. AC = 9. Найдите AB.

Решение:

У нас есть прямоугольный треугольник \( △ ABC \) с прямым углом \( ∠ C = 90^° \).

Дано:

• \( ∠ C = 90^° \)
• \( \text{sin} ∠ A = \frac{4}{5} \)
• \( AC = 9 \)

Нужно найти гипотенузу \( AB \).

Вспомним определение синуса в прямоугольном треугольнике: \( \text{sin}(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).

Для угла \( A \): \( \text{sin} ∠ A = \frac{BC}{AB} \).

У нас есть \( AC \) (прилежащий катет к углу \( A \)) и \( \text{sin} ∠ A \). Мы можем найти \( \text{cos} ∠ A \) или \( \text{tg} ∠ A \), чтобы использовать \( AC \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \text{sin}^2 ∠ A + \text{cos}^2 ∠ A = 1 \).

\( (\frac{4}{5})^2 + \text{cos}^2 ∠ A = 1 \)

\( \frac{16}{25} + \text{cos}^2 ∠ A = 1 \)

\( \text{cos}^2 ∠ A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} \)

Так как \( A \) — острый угол в прямоугольном треугольнике, \( \text{cos} ∠ A > 0 \).

\( \text{cos} ∠ A = √ \frac{9}{25} = \frac{3}{5} \).

Теперь вспомним определение косинуса: \( \text{cos}(\text{угол}) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).

Для угла \( A \): \( \text{cos} ∠ A = \frac{AC}{AB} \).

Подставим известные значения:

\( \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} \)

Выразим \( AB \):

\( AB = \frac{9 × 5}{3} = \frac{45}{3} = 15 \).

Ответ: 15