17. Найдите значение выражения \(\sqrt{11-6\sqrt{2}+\sqrt{2}}.\)

Решение:

Упростим выражение под корнем:

\( 11 - 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 11 - 5\sqrt{2} \)

Попробуем представить \( 11 - 6\sqrt{2} \) как квадрат разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Пусть \( a^2 + b^2 = 11 \) и \( 2ab = 6\sqrt{2} \). Отсюда \( ab = 3\sqrt{2} \).

Если \( a = 3 \) и \( b = \sqrt{2} \), то \( a^2 = 9 \) и \( b^2 = 2 \).

\( a^2 + b^2 = 9 + 2 = 11 \). Это совпадает.

Значит, \( 11 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2 \).

Теперь вернемся к исходному выражению:

\( \sqrt{11 - 6\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2 + \sqrt{2}} \)

Здесь есть ошибка в условии. Если в задании было \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{2}\), то решение такое:

\( \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{2} = |3 - \sqrt{2}| + \sqrt{2} \)

Так как \( 3 > \sqrt{2} \) (т.к. \( 9 > 2 \)), то \( |3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2} \).

\( 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3 \).

Если исходное выражение было \(\sqrt{11-6\sqrt{2}+\sqrt{2}}\), то оно равно \(\sqrt{11-5\sqrt{2}}\), что не упрощается до целого числа. Предполагая, что задание имело в виду \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{2}\)

Ответ: 3