17. Площадь прямоугольного треугольника равна 50√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°. Пусть ∠A = 30°, тогда ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$, где a и b — катеты.

В нашем случае $$S = 50\sqrt{3}$$.

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90°:

• Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы: $$a = \frac{c}{2}$$.
• Катет, противолежащий углу 60°, равен $$b = a\sqrt{3} = \frac{c}{2}\sqrt{3}$$.

Подставим эти соотношения в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2} \times \frac{c}{2} \times \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

$$50\sqrt{3} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8}$$

Разделим обе части на $$\sqrt{3}$$:

$$50 = \frac{c^2}{8}$$

$$c^2 = 50 \times 8$$

$$c^2 = 400$$

$$c = \sqrt{400}$$

$$c = 20$$

Ответ:

20