17. Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть катеты равны a и b, а площадь S = 512√3. Один из острых углов равен 30°, значит, другой равен 60°. Пусть a - катет напротив угла 30°, а b - катет напротив угла 60°. Тогда a = b * tg(30°) = b / √3. Площадь S = (1/2) * a * b = (1/2) * (b/√3) * b = b²/2√3. Отсюда b² = 2√3 * S = 2√3 * 512√3 = 1024 * 3 = 3072. b = √3072 = 32√3. Катет напротив угла 30° равен a = b / √3 = 32√3 / √3 = 32.