17. Представьте в виде натурального числа числового выражения \(\sqrt{2} + \sqrt{27 - 10\sqrt{2}}\).

Краткое пояснение:

Решение:

1. Рассмотрим выражение под вторым корнем: \( 27 - 10\sqrt{2} \).
2. Попытаемся представить его в виде \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
3. Ищем числа, квадрат которых в сумме дает 27, и удвоенное произведение которых равно \( 10\sqrt{2} \).
4. Для \( 2ab \) мы имеем \( 10\sqrt{2} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} \).
5. Тогда \( a = 5 \) и \( b = \sqrt{2} \) (или наоборот).
6. Проверим квадраты: \( a^2 = 5^2 = 25 \) и \( b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \).
7. Сумма квадратов: \( 25 + 2 = 27 \). Это совпадает с числом перед вычитанием.
8. Значит, \( 27 - 10\sqrt{2} = (5 - \sqrt{2})^2 \).
9. Подставим это обратно в исходное выражение: \( \sqrt{2} + \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} \)
10. Так как \( 5 > \sqrt{2} \), то \( \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} = 5 - \sqrt{2} \).
11. Теперь сложим: \( \sqrt{2} + (5 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 5 \)

Ответ: 5