17. Сторона ромба равна 65, а диагональ равна 104. Найдите площадь ромба.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба, а \( a \) — сторона ромба.

Дано:

Сторона ромба \( a = 65 \)

Одна из диагоналей \( d_1 = 104 \)

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

Чтобы найти площадь, нам нужно найти длину второй диагонали \( d_2 \).

Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенузой является сторона ромба \( a \), а катетами — половины диагоналей \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \).

Половина первой диагонали: \( \frac{d_1}{2} = \frac{104}{2} = 52 \).

Применим теорему Пифагора к одному из этих треугольников:

\[ a^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \]

\[ 65^2 = 52^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \]

\[ 4225 = 2704 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \]

\[ \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 4225 - 2704 \]

\[ \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 1521 \]

\[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{1521} \]

\[ \frac{d_2}{2} = 39 \]

Теперь найдём длину второй диагонали \( d_2 \):

\[ d_2 = 2 \times 39 = 78 \]

Теперь вычислим площадь ромба:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \times 104 \times 78 \]

\[ S = 52 \times 78 \]

\[ S = 4056 \]

Ответ: 4056