17. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 218°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Краткая запись:

• Трапеция: равнобедренная
• Сумма двух углов: 218°
• Найти: Меньший угол — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим углы трапеции: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D. Так как трапеция равнобедренная, ∠A = ∠D и ∠B = ∠C.
2. Шаг 2: Рассматриваем два случая для суммы двух углов:
• Случай 1: Сумма двух прилежащих к одному основанию углов (например, ∠A + ∠D = 218°). Так как ∠A = ∠D, то 2∠A = 218°, откуда ∠A = 109°. Тогда ∠B = 180° - 109° = 71°. Меньший угол 71°.
• Случай 2: Сумма углов прилежащих к разным основаниям (например, ∠A + ∠B = 218°). Но сумма углов прилежащих к одной боковой стороне равна 180°, то есть ∠A + ∠B = 180°. Этот случай противоречит условию, значит, он невозможен.
• Случай 3: Сумма углов, один из которых у одного основания, а другой у другого, но они не смежные по боковой стороне. Например, ∠A + ∠C = 218°. Так как ∠C = ∠B, то ∠A + ∠B = 218°. Но ∠A + ∠B = 180°. Этот случай также невозможен.
• Случай 4: Сумма двух углов, которые могут быть как при одном основании, так и при разных, но мы должны найти наименьший угол. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Если 218° - это сумма двух углов у одного из оснований, то каждый из них 109°. Тогда углы у другого основания 180° - 109° = 71°. В этом случае меньший угол 71°.
• Случай 5: Если 218° - это сумма углов при разных основаниях, например, ∠A + ∠C = 218°. Тогда ∠D + ∠B = 218°. Но сумма всех углов трапеции 360°. 218° + 218° = 436° > 360°, что невозможно.
• Случай 6: Если 218° - это сумма двух углов, где один угол у одного основания, а другой у другого, и они не равны. Например, ∠A + ∠B = 218°. Но в равнобедренной трапеции углы при одной боковой стороне в сумме дают 180°. Это противоречие.
• Рассмотрим два возможных варианта:
  • Вариант 1: Сумма двух углов при одном основании. Так как углы при основании равны, то 2x = 218°, x = 109°. Другие углы будут 180° - 109° = 71°. Наименьший угол - 71°.
  • Вариант 2: Сумма углов при разных основаниях, но не при одной боковой стороне. Например, ∠A + ∠C = 218°. Пусть ∠A = α, ∠B = β. Тогда ∠C = β, ∠D = α. Условие: α + β = 180°. Мы имеем α + β = 218°, что невозможно.
  • Следовательно, 218° - это сумма двух углов при одном из оснований.
• Шаг 3: Пусть два угла равны x. Тогда 2x = 218°, x = 109°. Эти углы являются тупыми.
• Шаг 4: Углы при другом основании будут равны 180° - 109° = 71°. Эти углы являются острыми.
• Шаг 5: Наименьший угол трапеции равен 71°.

Ответ: 71