17. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 7, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где ∠C = 90°.

Пусть катет BC = 7, а угол, лежащий напротив него, ∠BAC = 45°.

1. Нахождение второго катета:
• В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
• \[ \tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} \]
• \[ \tan(45°) = \frac{7}{AC} \]
• Так как \( \tan(45°) = 1 \), то:
• \[ 1 = \frac{7}{AC} \]
• \[ AC = 7 \]
• Итак, второй катет равен 7.
2. Нахождение площади треугольника:
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
• \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AC \]
• \[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 7 \]
• \[ S = \frac{49}{2} = 24.5 \]

Ответ: 24.5