17) В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√3. Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Пусть AD — большее основание, BC — меньшее основание. В прямоугольной трапеции ABCD проведем высоту BH к основанию AD.
2. В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 45°, следовательно, треугольник ABH равнобедренный, AH = BH.
3. По условию, BC = 5√3. Так как ABCD — прямоугольная трапеция, BH = AD - HD. Также BH = BC. Значит, BH = 5√3.
4. Так как AH = BH, то AH = 5√3.
5. Диагональ BD = 10. В прямоугольном треугольнике BHD, по теореме Пифагора: BH² + HD² = BD².
6. (5√3)² + HD² = 10².
7. 75 + HD² = 100.
8. HD² = 100 - 75 = 25.
9. HD = √25 = 5.
10. Большее основание AD = AH + HD = 5√3 + 5.
11. Боковая сторона AB = √AH² + BH² = √((5√3)² + (5√3)²) = √(75 + 75) = √150 = 5√6.
12. Боковая сторона CD = BH = 5√3.
13. Сравним AB и CD: 5√6 ≈ 5 * 2.45 = 12.25; 5√3 ≈ 5 * 1.73 = 8.65.
14. Большая боковая сторона — AB.

Ответ: 5√6