19) В многоподъездном доме в каждом подъезде одинаковое число этажей, а на каждом этаже по 5 квартир. Коля живёт в пятом подъезде на девятом этаже в квартире № 284. Даша живёт в третьем подъезде того же дома, только на десятом этаже. Какой номер квартиры у Даши, если он делится на число этажей дома без остатка? Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Найдем количество квартир на одном этаже: по условию, на каждом этаже 5 квартир.
2. Найдем номер квартиры Коли: 284. Он живет на 9 этаже в 5 подъезде.
3. Найдем количество квартир в одном подъезде до 9 этажа включительно. Поскольку Коля живет на 9 этаже, а номер квартиры 284, то всего квартир в подъезде до 9 этажа (включительно) можно найти, зная, что квартиры идут подряд.
4. Количество квартир на 9 этажах = 9 этажей * 5 квартир/этаж = 45 квартир.
5. Номер квартиры Коли (284) указывает, что в подъезде значительно больше квартир, чем 45. Это значит, что номера квартир идут сквозными по всему дому, или же мы неправильно поняли условие. Перечитаем: "в каждом подъезде одинаковое число этажей, а на каждом этаже по 5 квартир. Коля живёт в пятом подъезде на девятом этаже в квартире № 284."
6. Предположим, что номера квартир идут сквозными по подъезду. Тогда, если Коля живет на 9 этаже, квартиры с 1 по 45 находятся на этажах с 1 по 9 (при условии, что этажи нумеруются с 1).
7. Номер квартиры 284. Если предположить, что квартиры нумеруются внутри подъезда, то 284-я квартира на 9 этаже. Сколько квартир приходится на один этаж?
8. Условие "на каждом этаже по 5 квартир" означает, что в каждом подъезде квартиры нумеруются, скажем, с 1 по N, где N - общее число квартир в подъезде.
9. Если Коля на 9 этаже, и квартира № 284, то это значит, что все квартиры перед ним в его подъезде и на предыдущих этажах уже посчитаны.
10. Сколько квартир в каждом подъезде? Если Коля живет на 9 этаже, то до него 8 полных этажей. Количество квартир на 8 этажах = 8 * 5 = 40.
11. Если квартира № 284, и она на 9 этаже, то в пределах 9 этажа она будет иметь номер, например, от 41 до 45. Это противоречит тому, что номер квартиры 284.
12. Возможно, что номера квартир идут подряд по всему дому, а не по подъездам.
13. Рассмотрим еще раз: "Коля живёт в пятом подъезде на девятом этаже в квартире № 284."
14. Пусть 'Э' - число этажей в доме, 'К' - число квартир на этаже (К=5).
15. Общее количество квартир в подъезде = Э * К.
16. Если квартиры нумеруются последовательно по подъездам, то номер квартиры = (номер подъезда - 1) * (Э * К) + (номер этажа - 1) * К + порядковый номер квартиры на этаже.
17. Давайте предположим, что номера квартир идут последовательно по всему дому, начиная с первого подъезда.
18. Номер квартиры = (номер подъезда - 1) * (число квартир в подъезде) + номер квартиры внутри подъезда.
19. Даша живет в 3 подъезде, на 10 этаже.
20. Коля живет в 5 подъезде, на 9 этаже, квартира № 284.
21. Пусть "N" - число этажей в доме.
22. Число квартир в одном подъезде = N * 5.
23. Номер квартиры Коли: (5 - 1) * (N * 5) + (9 - 1) * 5 + (порядковый номер квартиры на 9-м этаже).
24. 284 = 4 * 5N + 8 * 5 + порядковый номер.
25. 284 = 20N + 40 + порядковый номер.
26. Порядковый номер квартиры на этаже может быть от 1 до 5.
27. Если порядковый номер 1, 284 = 20N + 41 => 20N = 243 => N = 12.15 (не целое).
28. Если порядковый номер 2, 284 = 20N + 42 => 20N = 242 => N = 12.1 (не целое).
29. Если порядковый номер 3, 284 = 20N + 43 => 20N = 241 (не целое).
30. Если порядковый номер 4, 284 = 20N + 44 => 20N = 240 => N = 12.
31. Если порядковый номер 5, 284 = 20N + 45 => 20N = 239 (не целое).
32. Итак, число этажей в доме N = 12.
33. Следовательно, в каждом подъезде 12 этажей * 5 квартир/этаж = 60 квартир.
34. Проверим номер квартиры Коли:
• Подъезд 5. Значит, квартиры с 1 по 4 подъезды (4 * 60 = 240 квартир) прошли до 5 подъезда.
• Коля живет на 9 этаже. На 9 этаже он является 4-й квартирой (284 - 240 = 44 квартиры в 5 подъезде до 9 этажа. 44 = (9-1)*5 + 4 = 8*5 + 4 = 40 + 4).
• Значит, Коля живет в 5 подъезде, на 9 этаже, 4-й квартире. Номер квартиры 284.
• 240 (квартиры в первых 4 подъездах) + (9-1)*5 (квартиры на 8 этажах в 5 подъезде) + 4 (порядковый номер квартиры на 9 этаже) = 240 + 40 + 4 = 284. Это верно.
35. Теперь найдем номер квартиры Даши.
36. Даша живет в 3 подъезде, на 10 этаже.
37. Число квартир в первых 2 подъездах = 2 * 60 = 120.
38. Квартиры на 10 этаже в 3 подъезде.
39. Номер квартиры Даши = 120 (квартиры в первых 2 подъездах) + (10 - 1) * 5 (квартиры на 9 этажах в 3 подъезде) + порядковый номер квартиры на 10 этаже.
40. Номер квартиры Даши = 120 + 9 * 5 + порядковый номер = 120 + 45 + порядковый номер = 165 + порядковый номер.
41. Условие: "Какой номер квартиры у Даши, если он делится на число этажей дома без остатка?"
42. Число этажей дома = 12.
43. Значит, номер квартиры Даши должен делиться на 12.
44. Проверим варианты порядкового номера квартиры на 10 этаже (от 1 до 5).
• Если порядковый номер = 1, номер квартиры = 165 + 1 = 166. 166 / 12 = 13.83 (не делится).
• Если порядковый номер = 2, номер квартиры = 165 + 2 = 167. 167 / 12 (не делится).
• Если порядковый номер = 3, номер квартиры = 165 + 3 = 168. 168 / 12 = 14. (Делится!).
• Если порядковый номер = 4, номер квартиры = 165 + 4 = 169. (не делится).
• Если порядковый номер = 5, номер квартиры = 165 + 5 = 170. (не делится).
45. Таким образом, номер квартиры Даши равен 168.

Ответ: 168